Jak jsem řešil Hypotézu kontinua

Na počátku dvacátého století předložil David Hilbert mezinárodnímu kongresu matematiků seznam 23 nevyřešených matematických problémů, z nichž na prvním místě byla tzv. Hypotéza kontinua.

Předem se omlouvám čtenáři idnes, že zde publikuji článek obsahu, který bude zajímat velmi malý okruh lidí. Důvodem je skutečnost, že na jakékoli oficiální matematické fórum vás jako samouka, chcete-li diletanta, nepustí a pokud chcete svůj názor někomu sdělit nebo zkonfrontovat, moc možností vám nezbývá.

Jakýmsi poselstvím článku má být fakt, že určitá matematická metoda, říkejme jí Cantorova diagonální metoda je „optický klam“, na který bez mrknutí oka skočil celý matematický svět a stále v tomto přískoku setrvává. Věc se týká teorie množin, oboru, který spojuje všechny ostatní matematické disciplíny v jeden komunikující celek.

Nejdříve co je to kontinuum?

Máme číselnou osu, která vede od nuly doprava do plus nekonečna a doleva do mínus nekonečna. Na této ose se nachází různá čísla, která podle jejich vlastností zařazujeme do tzv.číselných oborů. Obor Přirozených čísel 0, 1, 2, 3, 4, ….    obor Celých čísel …-2, -1, 0, 1, 2, 3,….  obor Racionálních čísel (zlomky) 1/2, 2/3, 3/8, …..  nebo tzv. kontinuum, což je obor čísel Reálných, tzn. všech čísel bez mezery od - ? do + ? nacházejících se na ose, přičemž osu můžeme do nekonečna dělit na sále menší vzdálenosti mezi čísly (intervaly).

Dalším důležitým pojmem je Spočetnost množiny?

Spočetnost nějaké množiny (hromady čehokoli) spočívá v tom, že mohu její prvky zobrazit v tzv. bijektivním zobrazení, což znamená, že s každým prvkem množiny můžeme utvořit uspořádanou dvojici s prvky množiny Přirozených čísel - N, což prakticky neznamená nic jiného, než že můžeme vytvořit seznam těchto prvků pod čísly 1, 2, 3, 4 …. tj. vytvořit pořadník, aniž by nám v naší množině zbyl nějaký prvek „neocejchovaný“ nějakým přirozeným číslem.  (biject  –  bi = 2;  ob-ject; sub-ject) Prostě prvky jsme schopny spočítat jako ovečky jdoucí za sebou po lávce - proto SPOČETnost.

Například množina vrcholů obdélníku ABCD, množina želv Ninja nebo množina tankistů v sovětském tanku T55 bude spočetná, protože všechny její prvky můžeme uspořádat do seznamu, označkovat přirozenými čísly, aniž by nám nějaký vrchol, želvák nebo tankista zbyl, přičemž záleží výhradně na počtu prvků (čemuž se říká kardinalita), nikoli na pořadí (čemuž se říká ordinalita) a na tom, jak daleko jsou prvky od sebe, tj. jak velká je "parcela", na které jednotlivé prvky leží, s čímž souvisí tzv. mohutnost. Takže tedy pro uvedené množiny bude mít kardinalita hodnotu 4.

Předmětem zkoumání bylo, zda a jaké číselné obory jsou spočetné nebo nespočetné. Obor Přirozených čísel - N spočítat je nejjednodušší, vždyť on sám je určovatelem pro spočetnost - viz obr.

U Celých čísel - Z, který zahrnuje i prakticky zrcadlovou kopii Přirozených čísel ve směru k mínus nekonečnu, seřadíme čísla prostřídáním  1,-1, 2, -2, 3, -3,…  Celá čísla obsahují dvě nekonečna, obrazně na obě strany nekonečnou šňůru oveček. Šňůru pak uprostřed (na nule) přestřihneme, ovečky z obou konců budou střídavě vcházet na lávku a každá ovečka, která projde, dostane pořadové číslo. Takto uděláme ze dvou nekonečen pouze nekonečno jediné, což je a to je důležité, podmínkou pro spočetnost.

Větším oříškem byla Racionální čísla - Q, tj. všechny čísla, která lze vyjádřit zlomkem, např. 1 lze vyjádřit jako 1/1. Cantorovi se podařilo tyto čísla důmyslně seřadit do seznamu - viz obr. Červeně jsou vyznačená čísla, která svou hodnotou již v seznamu jsou (např. 6/3 = 2/1). Mohou se tedy opakovat - důležité! (Na obrázku  nejsou pro přehlednost vyznačená záporná čísla).

Reálná čísla - R, tzv. číselné kontinuum, tedy všechna čísla od - ? do + ? bez jediné mezery na ose považuje Cantor za nespočetnou množinu a to nejmenší možnou. Kdybychom chtěly třeba vytvořit množinu R2, tedy kontinuum plochy, byla by tato množina o tuto mocninu větší.

Hypotéza kontinua, je tedy o tom, zda existuje nějaká nekonečná množina menší než kontinuum reálných čísel a přitom taková, že u ní nelze vytvořit bijekci (spárování) s množinou Přirozených čísel, tedy že je rovněž nespočetná jako reálné kontinuum.

Tento problém zde neřeším, neboť se zde pokouším dokázat, zda je reálné kontinuum spočetné, zda lze všechna myslitelná čísla na ose seřadit do seznamu a ocejchovat přirozenými čísly. Předchozí znění problému by tak ztratilo smysl.
 Jak jsem vůbec na tento nápad přišel? Koupil jsem si populární knihu o matematice a jednoho dne čtu:

„V náhlém osvícení mysli Cantor ukázal, že i pouhý pokus o vytvoření seznamu reálných čísel mezi 0 a 1 je odsouzen k neúspěchu“. V knize jsem nabádán, abych si vytvořil seznam reálných čísel typu r1, r2, r3, r4…. A pak tzv. diagonální metodou našel číslo, které není v seznamu. Když si prý zvolím číslo, které bude obsahovat číslice jiné než v diagonále, vznikne tak prý úplně nové číslo, které není dozajista v seznamu - viz obr.

Chvíli jsem na to civěl a vůbec jsem to nechápal ...a v náhlém osvícení mysli jsem musel konstatovat, že je to absolutní hloupost (je ale velice pravděpodobné, že jediný, kdo je tu hloupý, jsem já).

Z vyčteného mi bylo jasné, že problém spočívá ve vytvoření seznamu. Mělo by tedy platit (a to jsem nevyčetl), že Spočetnost nějaké množiny je závislá na podmínce, že nekonečný rozvoj může být pouze v jednom směru. Seznam má začátek a natahovat ho můžeme do nekonečna stejně jako přirozená čísla, která jsou pro spočetnost měřítkem. Problém Reálných čísel by měl být v tom, že každý jakkoli zvolený interval lze nekonečně dělit, což by mělo znamenat, že nekonečná osa reálných čísel obsahuje nekonečně mnoho nekonečností, což by se dalo vyjádřit číslem „nekonečno na nekonečnou“ (ovce jdou ve stádech po nekonečném množství lávek). V oné knize jsem pak po uvedení zdánlivého důkazu četl: „Pro množinu reálných čísel R doopravdy nelze sestavit seznam, takže je možné říct, že představuje větší nekonečnou množinu, množinu s nekonečnem vyššího řádu, než má nekonečno množiny zlomků Q. Velké se právě stalo větším“. K tomu jen lze dodat, že je to hezky, téměř básnicky řečeno a vytváří to jakýsi opar uctivé nedotknutelnosti. Jenže já jsem kacíř a nemám v tomto směru zábran a ani se nebojím zesměšnění, neboť nemám titulů ani postů a nemám tedy co ztratit. Jal jsem se tedy nejdříve seřadit kontinuum mezi čísly 0 a 1.

Podívejme se na ukázku Cantorovy diagonální metody. Nyní mějte trpělivost, budu se ptát jako dítě. Proč jsou všude za příklad uvedená čísla na přeskáčku? To by nenapadlo ani žáka speciální školy. Jaká matematická funkce by pak generovala takový chaotický seznam? Dobře, připusťme, že je to jen ukázka metody.

Nyní, proč má každé zobrazené číslo tečky zobrazující nekonečný rozvoj? Znamená to snad, že bych měl zapisovat reálná čísla po nejmenších dílcích jedno po druhém? To bych se utopil už při zápisu prvního čísla, ani bych tedy nezačal, a celá diagonální metoda by byla úplně k ničemu. Vždyť pak by důkazem nespočetnosti reálných čísel byl prostý fakt, že není možné zapsat celé iracionální číslo, tedy číslo s nekonečným neperiodickým desetinným rozvojem. Diagonální metoda by byla naprostá zbytečnost. Takže se asi s matematiky shodnu na tom, že mohu začít s čísly s menším počtem desetinných míst než nekonečným.

Nyní si představme interval v rozsahu jednoho celého čísla jako fraktální strom s větvením po deseti. (Pro názornost je na obr. vlevo dělení jen tři). V nekonečnosti tohoto dělení by měla být obsažena všechna reálná čísla daného intervalu. Pak jde jen o to zvolit vhodný způsob řazení čísel do seznamu, aby tam čísla byla všechna. 

Je v zásadě jedno, na kolik dílů budeme dělit, ale ponechme obvyklé desetinné dělení. Zeptám-li se, je-li tam obsaženo číslo 1/3, které zapsané jako desetinné číslo má nekonečnou periodu 0,33333…, mohu říct ano. Zvolím-li jakkoli jemné zaostření, tedy jakkoli vzdálenou trojku od nuly, vždy k ní v desetinném dělení dorazím. Pro Cantorovce: každou trojku směrem doprava mohu očíslovat přirozeným číslem a to až do nekonečna, tedy vytvořit bijekci. Pokud existuje podle Cantora aktuální množina všech přirozených čísel, což je nesmysl vzniklý z teologické chybné domněnky, pak proč by nemohla existovat nekonečná množina trojek v desetinném dělení přibližující se 1/3.

(Později vložená poznámka - Pro prostě myslícího tvora existuje nekonečnost pouze jako potenciální možnost nastavování či prodlužování nebo jakéhokoli zvětšování dle aktuální potřeby. Výhled je otevřen do nekonečna, ale žádné od počátku dané nejvyšší přirozené číslo neexistuje, a tudíž neexistuje ani množina všech přirozených čísel. Tzv. obory čísel nejsou množiny v pravém slova smyslu, tedy souborem prvků, které volně ložené můžeme ohraničit celým kruhem, tedy udělat úplnou ohradu. Bude to vždy nějaká otevřená nádoba, v níž se nám zjeví jen to, s čím aktuálně pracujeme. Nekonečnost tedy neexistuje, existuje pouze limita v nekonečnosti, tedy jakkoli velké číslo, které se nekonečnosti snaží přiblížit. Správně nahlíženo, je to libovolné posouvání konečnosti. Slovo nekonečnost je samo o sobě sporné a matoucí. O tom však později. Zatím s tímto slovem pracujme).

Nyní si promítněme desetinné dělení do plochy. Nekonečno najdeme směrem do mínus nekonečna, do plus nekonečna a také směrem nahoru od kteréhokoliv místa v ploše, kam zapíchneme prst. Nyní zkusme v intervalu mezi 0 a 1 vytvořit seznam v posloupnosti zobrazené červenými šipkami, tj. zapíšeme nejdříve jednotky, pak desetiny, pak setiny, pak tisíciny atd. atd. 

Teď se zeptám, bylo by možné provést příkaz:

Zapiš všechny desetiny od 0 do 1, pak zapiš všechny setiny od 0 do 1, pak zapiš všechny tisíciny od 0 do 1 atd. do nekonečna. 

Prostě nejde o to hned psát hned čísla s xxxxx…. desetinnými místy. V zásadě je to to samé jako počítat přirozená čísla, také se přibližuji postupně k nekonečnosti, kterou defacto nikdy nedosáhnu. Tady jdu jenom místo po ose doprava do hloubky. Zapisující tužka pořád opakuje tah od 0 do 1, jen se pořád zarývá hlouběji, až nekonečně hluboko.

Zápis slovy by vypadal takto: Na začátku máme jedna; Jedna vyděl A, pak A-krát přičti 1/A    plus    1 vyděl A^2, pak A^2-krát přičti 1/A^2   plus  1 vyděl A^3, pak A^3-krát přičti 1/A^3  plus atd. Přičemž A=10, protože používáme desítkovou soustavu. Pro jiné soustavy by se doplnilo odpovídající číslo.  Matematik jistě pochopí, co chci vyjádřit. Je to nekonečné přidávání jednotlivých dílků a v celku je to vlastně součet veškerého větvoví onoho fraktálního stromu. A tam přece musí být všechna čísla, protože je tam celé nekonečné dělení.

Matematik-praktik mi napsal toto: „Takový program je opravdu triviální. Algebraicky je to: suma(suma(d*10^(-j)), kde první suma jde přes k od 0 do +inf a druha pres j od 0 do k a d je z oboru celých čísel. Pro k=0 z toho vypadnou všechna celá čísla, pro k=1 všechny první desetiny, pro k=2 všechny setiny...

Ano, je to je dělení celého čísla mocninami deseti a tyto mocniny lze poměrně snadno seřadit. Můj pokus o sumační zápis sice vypadá směšně, každá hodnota, která se přičítá, je jeden set desetinného dělení, který jednoduchou úpravou dá hodnotu jedna (vrchní zelená bublina). Na zápisu je však patrný rozklad na sety desetinného dělení (desetiny, setiny, tisíciny…), kterým lze přiřadit pořadové číslo (žlutá bublina), v každém setu lze pak k jednotlivému číslu rovněž přiřadit pořadové číslo (červená bublina).

Z toho je zřejmá možnost bijektivního zobrazení, tím možnost vytvořit seznam.

Cantorovu metodu nelze pro tento postup vůbec použít, protože celý přístup k problematice je jiný. Když napíši číslo se čtyřmi desetinnými místy např. 0,5486, mohu pak klidně zvolit jakékoliv číslo, které bude mít jiné číslice na všech desetinných pozicích a bude tam, protože set deseti-tisícin obsahuje všechny deseti-tisíciny od 0,0001 do 0,9999, tedy všechny kombinace pěti číslic. Není pak argumentem uvést číslo s pěti desetinnými čísly, protože to je obsaženo v dalším setu sto-tisícin, který obsahuje všechny sto-tisíciny od 0,00001 do 0,99999. A tak můžeme pokračovat dál a dál do řad desetinného dělení postupně se přibližujících nekonečnému. 

Seznam bude vypadat následovně. V každém dalším řádku se stejně jako v seznamu s racionálními čísly vynechají čísla končící na nuly, protože hodnotově odpovídají již napsaným číslům s méně desetinnými čísly o řádek nebo řádky výše.

Např.  0,60000020 má stejnou hodnotu jako o řádek výše 0,6000002

Nebo 0,60000200 jako o dva řádky výše napsané 0,600002

Opakovaná čísla v daném řádu jsou vlastně pokračování nosných větví fraktálu - viz obr. výše.

Pokud by bylo možné takto zapsat kontinuum intervalu jednoho celého čísla, nebo lépe řečeno pokud inkvizice ZFC povolí toto řazení, jak tedy zapsat kontinuum celé reálné osy, jakožto nekonečné řady těchto stromů.

Opět si promítněme „klaviaturu“ nekonečného desetinného dělení do plochy.

Celý problém je řešen topologicky. Jde o to určit cestu, aby vedla od Nula (může být od kteréhokoliv bodu na ose, ale nejpřirozenější je od nuly) do Nekonečna a prošla celou plochu tak, aby se nikde nedvojila, žádné místo nevynechala a nikde se nepřerušila.

Nebudeme tedy sčítat fraktální stromy jednotlivých celých čísel, to bychom se utopili u prvního, ale všechny rozdělíme na boxy, kde každý box bude jeden set jednoho řádu desetinného dělení. Tyto boxy budeme pak navlékat na šňůru zvolené cesty jako korálky. Zde je ukázka prvních osmi boxů plochy, která je na obrázku výše. Každý si už může domyslet další postup.

Modře jsou vyznačená pořadová čísla v seznamu, což znamená bijekci s množinou Přirozených čísel. (Opakující se čísla jsou vynechána)

Nyní zásadní otázka: Zda je možné utvořit zápis, který by generoval do seznamu popsanou cestu?

Celý děj se dá obrazně připodobnit šířící se vlně, která vznikne padající kapkou těsně u rovné stěny břehu, a která postupně obsáhne celou plochu, tedy všechna čísla do obou směrů nekonečností na ose i do nekonečnosti desetinného dělení každého jednotlivého čísla.

Při pohledu na osu zapisující tužka vyjde z nuly a střídavě bude kmitat doleva a doprava jako kyvadlo, které bude své výkyvy postupně zvětšovat, přičemž pokaždé, když tužka bude přejíždět místo, kde už byla, zaryje se hlouběji do osy. (Podobný děj najdeme i při zápisu racionálních čísel, kde se rovněž vzdálenost střídá s hloubkou)

Iracionální čísla jako pí, e, fí v seznamu budou také, protože právě tím, že zapisujeme postupně všechny řády desetinného rozvoje dílek po dílku, vždy při zapisování narazíme na ona čísla v té podobě s tolika desetinnými místy, v jaké hloubce se právě nacházíme. A protože seznam je nekonečný, je tam obsaženo i iracionální číslo s nekonečným rozvojem. Jak už bylo řečeno, chtít ho zapsat celé je ten samý problém, jako chtít zapsat nejvyšší přirozené číslo. Právě kvůli tomu vytvořil Cantor pojem nekonečně spočetných množin. Nekonečně velké číslo za použití cifer 0 až 9 není možné zapsat, ale lze mít výhled na logiku posloupnosti, která se bude nekonečnosti přibližovat.

Celý pseudoproblém se spočetností spočívá jen v tom srovnat různý počet nekonečností na nekonečnost jedinou odpovídající polopřímce řady Přirozených čísel. U Celých čísel to byly nekonečnosti dvě, u Racionálních čísel tři (mínus a plus nekonečnost pro čitatele a nekonečnost pro jmenovatele), u Reálných čísel nekonečně nekonečností, avšak v posloupnosti zapletených do sebe tak, aby rostly jako nekonečnost jediná.

Je tedy třeba zopakovat a zdůraznit: Napíšu-li číslo s určitým počtem desetinných míst, tak pomocí diagonální metody nemohu najít číslo o stejném počtu desetinných míst, které by v seznamu nebylo a pokud jako důkaz napíšu číslo s vyšším počtem desetinných míst, najdu toto číslo v seznamu dále, lépe řečeno na jiném místě neboť posloupností, kterou je vedena cesta celou plochou obsahující všechny celočíselné intervaly se svými desetinnými rozklady, se čísla s různými počty desetinných míst střídají.

Lze tedy vyvodit tvrzení: Nemohu sestrojit a zapsat takové reálné číslo, které bych nenašel ve fraktálech desetinného dělení jakéhokoliv celočíselného intervalu na ose. Mohu tedy tvrdit, že v seznamu najdu jakékoliv myslitelné číslo.

Tvrzení ještě přitvrdím, pokud se zeptám: Jsi schopen zapsat (zdůrazňuji seznam) číslo (třeba pomocí počítače), které nenajdeš v rozkladu desetinného dělení celého čísla, byť v nekonečné aproximaci?

Ještě jednou vystavím protitvrzení, že pokud budu neustále dělit deseti, vždycky tam budou mezery. Ale kdykoliv si zvolím nějaký bod v mezeře, mohu se k němu dopracovat dalším dělením, protože neumím nějaký bod zvolit jinak, než desetinným číslem, právě proto, že používám čísla v té podobě, jak je znám. Nakonec a to je zásadní, Cantorova diagonální metoda pracuje také jenom s desetinnými čísly. (Nehledě na fakt, že při dnešním používání počítačů se nelze ani k jiným výsledkům, než zapsaným jako desetinné číslo dobrat).

Pak je vše o chápání nekonečnosti jako takové, a to už jsme na půdě filosofie, u tématu, které nejednomu starověkému filozofovi a středověkému teologovi odebíralo klidný spánek. Mohu tedy říct, že vyplňování reálného kontinua je rovnoměrné zmenšování intervalu mezi jednotlivými čísly. Tento proces vyplňování je nekonečný. 

Ještě jednou zopakuji, co vlastně znamená nekonečná spočetnost. Pokud to znamená mít začátek a čísla seřazená tak, aby nekonečnost číselné řady byla jedním směrem tak, aby se čísla dala zapisovat do jednoho sloupce seznamu, přitom v posloupnosti zápisu byla schopna dorazit k jakémukoliv myslitelnému číslu, které jsem schopen sestrojit, pak je podmínka splněna.

Pokuste se vydržet ještě jednu úvahu zpočátku trochu mimo mísu, která se k mateřské matematice věcně vrátí: Existuje vůbec nějaké kontinuum? Pohledem fyzika: Není to jen představa našich nedokonalých smyslů, pouhé naše pojetí? Není kontinuum jen stroboskopický jev pohybujících se kvant. Slovo reálný odkazuje na realitu. Vznik kvantové fyziky je vlastně následek faktu, že člověk není schopen pochopit realitu v její úplné spojitosti. Pořád bude chtít dělit. První co napadne člověka při každém objevu dosud nejmenší částice je otázka po jejím složení. V extrému může dojít k představě vlny, která je „čímsi spojitým“ a z této vlny se nějakým aktem vymezení stane částice. Jsou tu tedy dvě možnosti představy o realitě. Buďto jest nic – prázdný prostor a v něm se pohybují nejmenší částice, ze kterých se skládají složitější útvary a systémy, anebo je tu nějaké původní spojité vlnění či pole, klidně ho můžeme nazvat božským, jehož podstatu nikdy nepochopíme, právě už jen pro tuto vlastnost absolutní spojitosti, a z tohoto pole první nejmenší částice povstávají jako základní kamínek pro utváření dalších forem, které v tomto poli plují jako plankton v oceánu. V obou případech je tu přítomen nejmenší díl. Spojité vlnění samo žádné díly nemá. Taková je realita.

Oproti pojmu reálný by se dal tedy postavit pojem naivní ve smyslu neuskutečnitelně ideální. Představa ideálního kontinua nekonečného dělení je opravdu naivní. Přísně vzato je to vlastně nesmysl, protiřeč, logický spor. Je to jako přikázat: „Rozřež kmen na polena, ale nesmí být vidět řezy. Nebo vezmeme-li si na pomoc geometrii a chápeme-li číslo jako mezní bod vzdálenosti od nuly, tedy jako bod na ose, pak víme, že bod nemá žádný rozměr, je to pouze souřadnice nebo hranice dvou úseček. Při tomto pohledu by mělo být reálné kontinuum nespočetné rovněž a priori, aniž bychom museli něco dokazovat nějakou diagonální nebo jakoukoliv jinou metodou. (Pokud tedy právě nezvolíme vhodný postup přibližování se).

Nedovolím si tedy tvrdit, že jsem zpochybnil nespočetnost kontinua, ale dovoluji si zpochybnit způsobilost Cantorovy diagonální metody být arbitrem nespočetnosti množiny reálných čísel.

Rozumnou představu reálného kontinua by vystihl pojem dostatečné i relativní kontinuum.

Nejmenší dílek by samozřejmě nikdo neurčoval, zůstal by neznámý stejně jako nejvyšší přirozené číslo. Jde skutečně jen o vymezení pojmu, ze kterého by vyplynul axiom, který by ošetřil spor. V tomto případě, jestli je možné nekonečné desetinné dělení považovat za kontinuum. Člověk, který je zvyklý hluboce přemýšlet, jasně cítí, že na skutečné řešení je jeho rozum krátký. Ví, že na žádnou nekonečnost nedohlédne a nemůže pracovat s její skutečnou povahou, musí jí nasadit nějakou masku, sám jí vymezit určité vlastnosti, aby se mu hodila do krámu, pardon, k počítání. Jinak nemůže v pravdě říci kontinuum je nebo není nespočetné, protože on v pravdě neví, jaké kontinuum je. Může říci pouze „Nevím, otázka spočetnosti kontinua je pro mé schopnosti neřešitelná“. 

Celý tento text kromě poznámky jsem napsal minulý rok ještě v době před setkáním se s dílem českého matematika a filosofa Petra Vopěnky (prof. RNDr. Petr Vopěnka DrSc.), zakladatelem alternativní teorie množin. S použitím jeho terminologie bych nyní napsal, kontinuum leží za hranicí geometrického obzoru v terra incognita.

K tomu bych nakonec přidal dojem, že svět matematické axiomatické soustavy mi stále více připomíná svět justice, kde není ani těžké pochopit pointu věci jako spíš její vyjádření a že pokud chce matematik něco naučit či dokázat, musí se stát nejdříve právníkem s celou jeho záludností šroubovaného projevu. Můj první intuitivní obraz při setkání s tímto „spolkem“ bylo klubko do sebe zamotaných hadů, z jejichž hřbetů vyrůstají hadi další, kteří se vzájemně zakousávají (jedna myšlenka požírá druhou). Kdybych výjev namaloval, byl bych nařčen z plagiátorství Salvatora Dalího.

Popravdě řečeno, nejsem schopen do světa predikátové logiky proniknout zřejmě z několika důvodů:

1. Nemám motivaci se sám tímto nudným, suchým a ve vyjadřování kostrbatým způsobem uvažování dlouhodobě a intenzivně zabývat - chybí povzbuzující mentor a kolega diskutér.
2. Na školu je pozdě a dostupné zdroje jsou chaotické, mnoho spisujících lidí v tomto oboru nemá představu o kognitivních procesech studujících. Velká část učitelů by se měla přejmenovat na vypravěče (vypravěč tlačí do ucha posluchače svůj příběh bez upravující zpětné vazby). Informační zdroje jako WIKI jsou nedotažené a odfláknuté (vždycky něco chybí, jakoby nebyly pro lidi, kteří se látku teprve učí).
3. Nejsem na to dostatečně inteligentní a nadaný, což potenciálně může ospravedlnit předchozí dva body.

Apendix:

Jako dodatek se dá provést pokus dát do seznamu Komplexní čísla - C. Zde jde o to zaplést do sebe reálná kontinuum na druhou (R2) tak, aby vytvořilo jednu řadu. Promítneme-li si opět Reálné kontinuum do plochy, lépe řečeno do polo-plochy, tak nad každým číslem v této nekonečné polo-ploše se opět nachází stejná nekonečná polo-plocha.

Komplexní číslo má tvar a + bi ; kde a je reálné číslo, i je imaginární jednotka, která se nemění a tudíž pro seznam nehraje roli a potom ono b tj. reálná složka imaginárního čísla, takže rovněž reálné číslo.

Promítneme-li si opět Reálné kontinuum do plochy, lépe řečeno do polo-plochy, tak nad každým číslem a v této nekonečné polo-ploše se nachází číslo b, které může být opět kterýmkoli číslem v nekonečné polo-ploše reálného kontinua.

Pokud bychom k reálnému číslu a (dole) chtěli přiřadit všechna reálná čísla "b" (nahoře), utopili bychom se samozřejmě na prvním čísle. 

Nyní ale, kdybychom si zvolili postup: V ploše dole si vymezit si čtverec. První číslo – skok nahoru, tam si vymezit opět ten samý čtverec, který přiřadím číslu dole, ten dát do seznamu, skočit dolu – další číslo, skočit nahoru opět si vymezit čtverec stejný jako předtím, dát do sezamu, až bychom měli vypsaný celý dolní čtverec s přiřazenými čtverci ve vrchní části, pak bychom dole posunuly hranice čtverce a pokračovali bychom stejným způsobem dál, tj. při každém dalším čísle dole vyskočit nahoru a tam vypsat původní čtverec, po vypsání tohoto rozšíření bychom se vrátili zpět na původní čtverec, při každém čísle vyskočili nahoru a tam vypsali čísla o stejné rozšíření čtverce jako dole. Po té bychom skočili dolů, udělali rozšíření druhé, v němž bychom u každého čísla vypsali v horní části čísla v původní prvním čtverci, potom bychom přešli zpět na první rozšíření dole, při každém čísle vyskočili nahoru a tam vypsali čísla v rozsahu prvního rozšíření, potom bychom přešli dole na první původní čtverec a v něm u každého čísla vypsali horní čísla v rozsahu druhého rozšíření. Ztrácíte se? Slova jsou poněkud nepraktická a není nad obrázky. Z obrázku je hned patrná posloupnost zápisu. Pro číselné vyjádření posloupnosti bude lépe počáteční čtverec nazvat pole 1, první rozšíření nazvat pole 2, druhé rozšíření pole 3 atd.

Vlna takto se šířící v opakovaném návratu na začátek nabývající na mohutnosti je sice neobvyklá (kdybychom každou číslici v seznamu nahradili nejmenší hmotnou částicí, tak sotva bychom se trochu odlepili od nuly, cihličky by měli hmotnost větší než černé díry), avšak čísla, která obsahuje, se dají položit jedné řady a pokračují v jednom směru do nekonečna. Způsob přibližování k nekonečnu je přitom systematický a ve výhledu nevynechá jediné číslo.

Opět je nutné připomenout, že v seznamu Racionálních čísel se zápis s rostoucí hodnotou do plus a mínus nekonečna vždy vrací (a více přibližuje) k nule.

Sbohem matematiko.

Poznámky: Všechny obrázky kromě ukázky diagonální metody a racionálních čísel jsou z mé PowerPoint dílničky.